BAB
I
PENDAHULUAN
1.1
Latar
Belakang Masalah
Dalam kehidupan
sehari-hari terdapat permasalahan atau perhitungan yang terlalu rumit apabila
dihitung satu persatu tiap objek, misalnya: “Dalam transaksi jual beli di
pasar. Baik itu penjualan bahan kebutuhan pokok, buah-buahan, sayur-sayuran,
maupun barang elektronik. Harga yang ditawarkan oleh penjual pun beraneka
ragam. Jika kita tidak mengetahui harga dari produk tersebut, tetapi kita
mengetahui berapa banyak seorang pembeli membeli dua jenis produk dan total
uang yang harus dibayarkan atas produk itu, apakah kita dapat mengetahui harga
dari setiap produk tesebut?” Dalam permasalahan seperti ini tentu memerlukan
cara penyelesaian yang lebih mudah dan lebih ringkas. Bentuk persamaan dan
pertidaksamaan aljabar sangat diperlukan untuk membantu perhitungan tersebut.
Oleh karena itu, digunakan beberapa model penyelesaian, di antaranya sistem
persamaan linier dan sistem persamaan kuadrat.
1.2
Rumusan
Masalah
1.2.1 Apakah yang dimaksud dengan sistem
persamaan dan sistem pertidaksamaan?
1.2.2 Apakah perbedaan antara Persamaan
dan Pertidaksamaan Kuadrat?
1.2.3 Apakah perbedaan antara Persamaan
dan Pertidaksamaan Linear?
1.2.4
Bagaimanakah cara mencari solusi dari sistem Persamaan dan Pertidaksamaan
Linear Satu Variabel dan Dua Variabel?
1.2.5
Bagaimana cara mencari solusi dari sistem Persamaan Linear Tiga Variabel?
1.2.6
Bagimanakah cara mencari solusi dari sistem Persamaan dan Pertidaksamaan
Kuadrat?
1.3
Tujuan
Penulisan
1.3.1 Dapat mengetahui pengertian
sekaligus contoh dari sistem persamaan
1.3.2 Dapat mengetahui mengenai perbedaan
antara Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat.
1.3.3 Dapat mengetahui mengenai perbedaan
antara Persamaan dan Pertidaksamaan Linear.
1.3.4
Dapat mengerti mengenai cara mencari solusi dari sistem Persamaan dan
Pertidaksamaan Linear Satu Variabel, dan
Dua Variabel.
1.3.5
Dapat mengerti mengenai cara mencari solusi dari sistem
Persamaan Linear Tiga Variabel
1.3.4 Dapat mengerti mengenai cara
mencari solusi dari sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat.
Tujuan kami membuat makalah ini adalah
untuk memberikan ilmu pengetahuan kepada para pembaca khususnya kepada diri
kami sendiri serta kepada para pelajar tentang “Sistem Persamaan dan
Pertidaksamaan”. Marilah kita bersama-sama mempelajari makalah ini dengan sungguh-sungguh
agar kita bisa mengetahui pentingnya matematika dalam kehidupan sehari-hari.
1.4
Metode Penulisan
Penulisan
mempergunakan metode kepustakaan cara-cara yang digunakan pada penyusunan ini adalah:
ü Studi
Pustaka
Dalam
metode ini penulisan membaca buku-buku yang berkaitan dengan penulisan makalah
ini.
(Sumber: Buku MATEMATIKA SMA kelas X jilid 1, Drs. Sartono
Wirodikromo-PT Gelora Aksara Pratama)
BAB
II
PEMBAHASAN
A. Sistem Persamaan
Sistem persamaan adalah
persamaan-persamaan yang harus diselesaikan secara bersamaan untuk mencari
nilai-nilai tunggal dari faktor-faktor yang tidak diketahui, dimana nilai-nilai
tersebut benar untuk setiap persamaan. Tiga metode yang digunakan untuk
menyelesaikan sistem persamaan yaitu:
a.
Metode Subsitusi c.
Metode Campuran
b.
.Metode Eliminasi
Contoh Soal:
1.
Selesaikanlah persamaan berikut untuk mencari nilai
x dan y, menggunakan metode subsitusi dan metode eliminasi?
x + 2y = -1 (1)
4x – 3y = 18 (2)
Jawab:
a.
Metode Substitusi
Persamaan (1): x + 2y = -1
x = -1 – 2y
Kemudian,
substitusikan x ke dalam persamaan (2)
Persamaan
(2): 4x – 3y = 18
4 (-1 – 2y) – 3y = 18
Maka,
terbentuklah persamaan sederhana dalam bentuk y:
-4 – 8y – 3y = 18
-4 – 11y = 18
-11y = 18 + 4
-11y = 22
y =
= -2
Dengan mensubstitusikan
y = -2 ke dalam persamaan (1), diperoleh:
x + 2y = -1 (1)
x + 2 (-2) = -1
x - 4 = -1
x = 3
Ø Jadi, x = 3 dan y = -2.
Kita cek nilai x dan y,
dengan menggunakan persamaan (2)
4x – 3y = 18
4 (3) – 3 (-2) = 18
12 + 6 = 18
18 =
18
Ruas Kiri Ruas Kanan
v Jadi, nilai ruas kiri = nilai ruas
kanan. Maka nilai x dan y benar
b.
Metode Eliminasi
x + 2y = -1 (1)
4x – 3y = 18 (2)
Jika persamaan (1)
seluruhnya dikalikan 4 maka koefisien x dari persamaan (1) akan sama dengan
koefisien x dari persamaan (2), sehingga:
4x + 8y = -4 (3)
Persamaan (2)
dikurangi persamaan (3) menghasilkan:
4x – 3y = 18
4x + 8y = -4
-11y = 22
y =
= -2
Jika persamaan (1)
seluruhnya dikalikan 3 maka koefisien x dan persamaan (2) seluruhnya dikalikan
2, sehingga:
3x + 6y = -3 (4)
8x – 6y = 36 (5)
Persamaan (4)
ditambah persamaan (5) menghasilkan:
3x + 6y = -3
8x - 6y = 36 +
11x = 33
x =
= 3
Jadi, x = 3 dan y = -2
c.
Metode
Campuran
1.
Selesaikanlah sistem persamaan berikut
3p = 2q (1)
4p + q + 11 =
0 (2)
Jawab:
3p = 2q (1)
4p + q +11 =
0 (2)
Dengan pengaturan ulang kita peroleh:
3p – 2q = 0 (3)
4p + q = -11 (4)
Kalikan persamaan (4) dengan 2, menghasilkan:
8p + 2q = -22 (5)
Dengan menjumlahkan persamaan (3) dan (5),
maka:
3p – 2q = 0 (3)
8p + 2q = -22 (5)
11p = -22
p =
= -2
Dengan mensubstitusikan p = -2 ke dalam
persamaan (1), maka:
3p = 2q (1)
3 (-2) = 2q
2q = -6
q = -3
Periksa, dengan mensubstitusikan p = -2 dan q
= -3 ke dalam persamaan (2), terlihat bahwa:
4p + q +11 =
0 (2)
4 (-2) + (-3) + 11 = 0
-8 -3 + 11 = 0
0 = 0
Jadi, terbukti bahwa ruas kiri = ruas
kanan
2.
Selesaikanlah sistem persamaan berikut:
+
= y (1)
13 -
= 3x (2)
Jawab:
Setiap kali terdapat pecahan dalam suatu
sistem persamaan, maka umumnya pecahan tersebut dihilangkan terlebih dahulu.
Jadi, kita perlu mengalikan persamaan (1) dengan 8:
+
= y (1)
8
+ 8
= (8)y
x + 20 = 8y (3)
Kalikan persamaan (2) dengan 3 menghasilkan:
13 -
= 3x (2)
13 (3) –
=
(3)3x
39 – y = 9x (4)
Dengan mengatur ulang persamaan (3) dan (4), maka:
x – 8y = -20 (5)
9x + y = 39 (6)
Kalikan persamaan (6) dengan 8, menghasilkan:
72x + 8y =
312 (7)
Penjumlahan persamaan (5) dan (7) menghasilkan:
x – 8y = -20 (5)
72x + 8y = 312
(7)
73x = 292
x = 4
Dengan mensubstitusikan x = 4 ke dalam persamaan
(5), kita peroleh:
x – 8y = -20 (5)
4 – 8y = -20
-8y = -24
y = 3
Sehingga penyelesaiannya adalah x = 4 dan
y = 3
3.
Selesaikanlah sistem persamaan berikut:
2,5x + 0,75 – 3y = 0 (1)
1,6x
=1,08 – 1,2y (2)
Jawab:
Untuk mempermudah
pengerjaan, kita hilangkan dahulu, pecahan desimal. Jadi, dengan mengalikan
persamaan (1) dan (2) dengan 100, kita peroleh :
250x
+ 75 - 300y = 0 (1)
160x
= 108 – 120y (2)
Dengan pengaturan ulang kita peroleh :
250x – 300y = -75 (3)
160x + 120y = 108 (4)
Kalikan persamaan (3) dengan
2 menghasilkan :
500x
– 600y = -150 (5)
Kalikan persamaan (4) dengan
5 menghasilkan :
800x
– 600y = 540 (6)
Dengan menjumlahkan persamaan (5) dan
(6), maka :
500x – 600y = -150
800x – 600y = 540
1300x =
390
X
=
=
=
0,3
Substitusikan
x = 0,3 ke dalam persamaan (1) :
250x
+ 75 – 300y = 0
250(0,3) + 75 – 300y = 0
75
+ 75 = 300y
150
= 300y
y
=
=
0,5
Jadi, penyelesaiannya
adalah x = 0,3 dan y = 0,5
4.
Selesaikanlah sistem persamaan berikut,
7p
+ 11+ 2q = 0 (1)
-1 = 3q - 5p (2)
Jawab:
7p + 2q = - 11 (1)
5p – 3q = 1 (2)
Selanjutnya kita
eliminasi dengan mengalikan persamaan (1) dengan 3 dan persamaan
(2) dengan 2, maka
diperoleh :
21p + 6q = -33
10p
– 6q = 2
31p = - 31
p = - 1
selanjutnya substitusikan persamaan (2) untuk memperoleh nilai q
yaitu:
5p – 3q =
1
5(-1) – 3q = 1
-5 -3q = 1
-3q = 6
q =
q = - 2
Jadi
nilai p = -1 dan q = -2
5.
Selesaikanlah sistem persamaan berikut,
+
=
4 (1)
-
= 0 (2)
Jawab:
Kita hilangkan penyebutnya dengan cara :
6
+ 6
=
6(4) (1)
18
-18
= 18 (0) (2)
Kemudian di eliminasi,
3x + 2y = 24
3x – 2y = 0 -
4y = 24
y
= 6
3x + 2y = 24
3x + 2 (6) = 24
3x = 12
x = 4
(Sumber: Buku Matematika Dasar Edisi 3, John Bird-Penerbit
Erlangga 2004)
B. Sistem Pertidaksamaan
ó Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang
menggunakan relasi <, >, =, = atau ≠. Dalam pelajaran aljabar biasanya
hanya terkait dengan relasi <, >, =,
atau = saja. Atau pertidakamaan merupakan sebuah pernyataan
tentang bilangan riil a dan b yang berbentuk a < b , a >
b , a ≤ b , atau a ≥ b , sehingga:
i.
a > b ↔ b < a iii. a ≥ b ↔ b ≤ a
ii.
a < b ↔ b > a iv. a ≤ b ↔ b ≥ a
Pertidaksamaan ada dua macam,
antara lain:
1. Pertidaksamaan mutlak;
adalah benar untuk semua nilai nyata dari variable-variabel yang dikandungnya.
Contoh: (a-b)2 > 0 berlaku untuk semua nilai a dan b,
dengan a ≠ b , karena kuadrat dari sebrang bilangan nyata adalah positif
atau nol.
2. Pertidaksamaan bersyarat;
penyelesaiannya hanya memenuhi sebagian nilai-nilai dari variabel-variabel yang dikandungnya. Contoh: x–2
> 8 adalah hanya benar apabila x >10 .
ó Notasi Pertidaksamaan
a.
Kurang dari ( < )
Jika a dan b bilangan real, maka a
dikatakan kurang dari b, ditulis a<b , jika dan hanya jika a
- b bernilai negative.
Contoh:
8
< 11, karena 8 - 11 = -3 , dan -3 bernilai negative.
b.
Lebih dari ( > )
Jika a dan b bilangan
real, maka a dikatakan lebih dari b, ditulis a>b , jika
dan hanya jika a - b
bernilai positif.
Contoh:
4
> -1 , karena 4 – (-1) = 5 , dan 5 bernilai positif.
c.
Kurang dari atau sama dengan ( ≤ )
Jika a dan b bilangan real, maka a
dikatakan kurang dari atau sama dengan b, ditulis a ≤ b , jika
dan hanya jika a < b atau a = b ( a ≤ b ingkaran dari a
> b).
Contoh:
7
≤ 9 adalah benar karena ingkarannya 7 > 9 adalah bernilai salah.
d.
Lebih dari atau sama dengan ( ≥ )
Jika a dan b bilangan real, maka a
dikatakan lebih dari atau sama dengan b,
ditulis a ≥ b , jika dan hanya jika a > b atau a = b ( a ≥ b
ingkaran dari a < b).
Contoh:
5 ≥ 3 adalah benar, karena
ingkarannya 5 < 3 adalah bernilai salah.
Contoh: perbedaan bukan persamaan,
persamaan dan pertidaksamaan.
|
Bukan
persamaan
|
Persamaan
|
Pertidaksamaan
|
|
2x + 3
|
2x = 3
|
2x > 3
|
|
2x2 – 3x + 5
|
2x2
– 3x = 5
|
2x2
– 3x ≤ 5
|
|
Dst
|
Dst
|
Dst
|
(Sumber:
Pembahasan MATEMATIKA SMP/MTs. Kelas VII, Disusun oleh: Awan
Winanto, S.Pd)
C.
Sistem
Persamaan Linier
1. Persamaan
Linier Satu Variabel
a. Pengertian
Persamaan Linier Satu Variabel
Persamaan
linier satu variabel adalah persamaan aljabar yang mencakup hanya satu variabel
(yang tidak diketahui) dengan pangkat pada variabelnya satu.
Bentuk
umum persamaan linier satu variabel adalah ax
+ b = 0 dengan a dan b bilangan real.
b. Cara Penyelesaian Persamaan Linier
Satu Variabel
Untuk mencari penyelesaian
Persamaan Linier Satu Variabel, maka dapat menggunakan cara:
a.
Kedua ruas ditambah
atau dikurangi dengan bilangan yang sama
b.
Kedua ruas persamaan dikali atau dibagi dengan bilangan
yang sama
Contoh:
1.
Tentukan
penyelesaian dari persamaan: 5x – 2 = 3x +3
Jawab:
5x – 2 = 3x +3 (persamaan awal)
5x – 3x - 2 = 3x – 3x + 3 (tiap ruas dikurangi 3x)
2x – 2 = 3
2x – 2 + 2 = 3 + 2 (tiap ruas ditambah 2)
2x = 5
x =
Atau
lebih mudah variabel dijadikan satu ruas, seperti :
5x – 2 =
3x + 3
5x – 3x
= 3 + 2
2x = 5
x =
2. Pertidaksamaan Linier
Satu Variabel (PtLSV)
ó Pengertian
PtLSV
Pertidaksamaan Linier Satu Variabel
ialah suatu pertidaksamaan bersyarat dalam variable x yang memiliki
bentuk E < F , E > F , E ≤ F , atau E ≥ F, dengan E dan F
adalah bentuk aljabar dalam x.
ó Penyelesaian
PtLSV
Penyelesaian pertidaksamaan dalam variable x
adalah semua nilai x yang membuat pertidaksamaannya menjadi pernyataan
yang benar.
Untuk dapat menyelesaikan
Pertidaksamaan Linier Satu Variabel dilakukan dengan cara:
1. Kedua
ruas ditambah, dikurangi, dikalikan, atau dibagi dengan bilangan yang sama.
2. Kedua
ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama (bukan nol), sehingga
tanda pertidaksamaannya tidak berubah
3. Kedua
ruas dikali atau dibagi dengan bilangan negatif, sehingga tanda
pertidaksamaannya berubah
Contoh:
1) Selesaikan
pertidaksamaan berikut: 3x – 9 > 6
Jawab:
3x – 9 > 6 (persamaan awal)
3x – 9 + 9
> 6 + 9 (kedua ruas
ditambah 9)
(kedua
ruas dibagi 3)
x
> 5
2) Seleaikan
pertidaksamaan berikut: 3x + 4 > 5x – 6
Jawab:
3x + 4 > 5x – 6 (persamaan
semula)
3x + 4 – 4 > 5x – 6 - 4 (kedua
ruas dikurangi 4)
3x > 5x -10
3x – 5x
> 5x – 5x -10 (kedua
ruas dikurangi 5x)
-2x > -10
(kedua
ruas dibagi -2)
x < 5
3)
Putri
memiliki 50 koin terdiri dari uang Rp 100,00 dan Rp 50,00 yang jumlahnya paling
banyak Rp 4.000,00. Carilah batas dari masing-masing koin yang dimilikinya!
Penyelesaian:
Misalnya,
banyak koin Rp 100,00 = x keping dan banyak koin Rp.50,00 = (50-x) keping, sehingga persamaannya menjadi:
100x
+ 50(50-x) ≤ 4000
100x
+ 2500 – 50x ≤ 4000
50x
≤ 4000 – 2500
50x
≤ 1500
x
≤
x ≤ 30 (Banyak koin Rp. 100,00)
50 – x = 50 – 30
= 20 (Banyak koin Rp. 50,00)
Jadi,
banyakkoinRp 100,00 adalah ≤ 30 kepingdankoinRp 50,00 adalah ≤ 20 keping.
3. Persamaan
Linier Dua Variabel (PLDV)
Persamaan Linier Dua Variabel adalah sebuah persamaan
yang memiliki dua variabel yang tidak diketahui, dengan pangkat tertingginya
satu.
Bentuk umum:
ax + by = c di mana a, b, dan c adalah konstanta dan a, b ≠ 0.
a. Sistem
Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)
Pasangan
dua persamaan linier dengan dua peubah atau variabel x dan y yang
memiliki bentuk umum:
atau
Dengan
a, b, c, p, q, r atau a1, b1, c1, a2,
b2, c2 merupakan bilangan-bilangan real. Jika c1
= c2 = 0, maka SPLDV itu dinamakan homogen sedangakan jika c1
0
atau c2
maka SPLDV itu dinamakan tak homogen.
Contoh SPLDV homogen: Contoh SPLDV tak
homogen:
b.
Menentukan Himpunan
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier dengan Dua Variabel
Ø Metode Grafik
Grafik sebuah persamaan linier ax + by = c
merupakan sebuah garis lurus. Dengan demikian secara grafis, sistem persamaan
linier.
Titik yang bersekutu dari kedua garis tersebut
merupakan penyelesaian sistem persamaan tersebut. Berdasarkan kedudukan dua
garis tersebut, maka ada tiga kemungkinan penyelesaian yang dapat ditentukan,
yaitu:
1. Jika
kedua garis berpotongan di satu titik (x0, y0), maka
himpunan penyelesaian tepat mempunyai satu anggota, yaitu {(x0, y0)}.
Ini terjadi jika
atau aq ≠ bp. Sistem persamaan
linier yang tepat memiliki satu penyelesaian disebut konsisten.
2. Jika
kedua garis itu sejajar, maka himpunan penyelesaiannya tidak mempunyai anggota
atau Ø. Ini terjadi jika
atau aq – bp = 0 dan ar – pc ≠ 0
atau br – qc ≠ 0. Sistem persamaan linier yang tidak memiliki penyelesaian
disebut tidak konsisten.
3. Jika
kedua garis itu berimpit, maka himpunan penyelesaiannya mempunyai tak berhingga
banyak anggota, ini terjadi jika
=
atau aq – bp = 0 dan ar – cp = 0
dan br – cq = 0. Sistem persamaan linier yang memiliki tak berhingga banyak
penyelesaian disebut bergantungan.
Langkah-langkah
menentukan titik potong dua garis lurus tersebut antara lain:
1) Menentukan
titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y
2) Menggambar
grafik dan menarik garis-garis yang melalui titik potong dengan sumbu X dan
sumbu Y
3) Menulis
himpunan penyelesaian titik potong
Contoh:
1. Tentukan
dengan gambar titik potong tiap sistem persamaan di bawah ini, kemudian
tulislah himpunan jawabannya?.
a.
b.
c.
Jawab:
Langkah
1: Menentukan titik potong:
|
a.
|
|||
|
|
|||
|
X
|
0
|
5
|
|
|
Y
|
5
|
0
|
|
|
x,y
|
(0,5)
|
(5,0)
|
|
|
|
||
|
X
|
0
|
1
|
|
Y
|
-1
|
0
|
|
x,y
|
(0,-1)
|
(1,0)
|
Langkah 2: Menggambar Grafik
y
6- x – y = 1
5-
4-
3-
2- berpotongan
di titik (3, 2)
1-
0
1 2 3
4 5 6
7 X
-1- x +
y = 5
Langkah 3: Menulis himpunan penyelesaian koordinat
titik potong
a. HP
=
b.
Langkah 1: Menentukan titik potong
|
|
||
|
X
|
0
|
5
|
|
Y
|
5
|
0
|
|
x,y
|
(0,5)
|
(5,0)
|
|
|
||
|
x
|
0
|
|
|
y
|
|
0
|
|
x,y
|
(0,
)
|
(
,0)
|
Langkah 2: Menggambar Grafik
y
6-
5-
4-
3-
2-
sejajar
1- 2x + 2y = 3 x + y = 5
0
1
2 3 4
5 6 7 X
Langkah 3: Menulis himpunan penyelesaian koordinat
titik potong
b. HP
= Ø
c.
Langkah 1: Menentukan titik potong
|
|
||
|
x
|
0
|
4
|
|
y
|
2
|
0
|
|
x,y
|
(0,2)
|
(4,0)
|
|
|
||
|
x
|
0
|
4
|
|
y
|
2
|
0
|
|
x,y
|
(0,2)
|
(4,0)
|
Langkah 2: Menggambar Grafik
y
6-
5-
4-
3- x+2y=4
2- 3x+6y=12 berimpit
1-
0
1 2 3
4 5 6
7 X
-1-
-2-
Langkah 3: Menulis himpunan penyelesaian koordinat
titik potong
c. HP
= setiap (x,y)
Ø Metode Substitusi
Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari suatu
sistem persamaan linier dengan menggunakan metode substitusi harus ditempuh
langkah-langkah berikut.
Langkah 1: Pilih salah satu
persamaan yang sederhana. Nyatakan y
sebagai fungsi x atau x sebagai fungsi y.
Langkah 2: Substitusikan y atau x yang didapat pada langkah 1 ke persamaan yang lainnya, sehingga
didapat penyelesaiannya.
Langkah
3 : Tuliskan himpunan penyelesaiannya.
Contoh:
1. Tentukan
himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut, dengan menggunakan metode
substitusi.
Jawab:
4x
– y = 7
y
= 4x – 7
Selanjutnya,
disubstitusikan ke persamaan 3x + 5y = 11,
diperoleh
3x
+ 5(4x – 7) = 11
3x
+ 20x – 35 = 11
23x = 46
x = 2
Kemudian,
x = 2 disubstitusikan ke persamaan y = 4x
– 7,
diperoleh
y = 4(2) – 7
=1
Jadi, himpunan penyelesaiannya
adalah {(2,1)}
Ø Metode Eliminasi
Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan linier dua variabel dengan menggunakan metode eliminasi ditempuh dengan langkah menghilangkan salah satu variabel dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan kedua
persamaan linier, syaratnya koefisien x atau y harus sama.
Contoh:
1. Tentukanlah
himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut ini dengan menggunakan metode
eleminasi!
Jawab:
Eliminasi variabel y,
sehingga didapat nilai x:
20x + 9y = 136
8x – 9y = 4
12x =140
x
= 5
Eliminasi
variabel x, sehingga diperoleh nilai y:
8x – 9y = 4 (1)
20x + 9y = 136 (2)
Samakan koefisien x
dengan mengalikan persamaan (1) semuanya dengan 5 dan mengalikan persamaan (2) dengan 2, maka diperoleh:
40x – 45y = 20 (3)
40x + 18y = 272 (4)
Selanjutnya,
persamaan (3) dikurangi persamaan (4)
40x – 45y = 20
40x + 18y = 272
-63y = -252
y
= 4
Jadi,himpunan
penyelesaiannya adalah {(5, 4)}
Ø Metode Kombinasi Eliminasi dan Substitusi
Metode kombinasi eleminasi-substitusi dapat digunakan
untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linier dengan dua
variabel, metode eleminasi digunakan terlebih dahulu kemudian dilanjutkan
metode substitusi.
Contoh:
1. Tentukan
himpunan penyelesaian dari:
(1)
(2)
Jawab:
Untuk
mencari nilai y, maka peramaan (1) dikalikan dengan angka 3 yaitu diperoleh:
3x
+ 9y = 30 (3)
Selanjutnya,
persamaan (3) dikurangi persamaan (2) yaitu:
3x
+ 9y = 30
3x
+ 4y = 15
5y =
15
y =
3
Kemudian,
substitusikan y = 3 pada salah satu
persamaan, misalnya memilih persamaan (1), sehingga:
x + 3y
= 10
x + 3(3) = 10
x +
9 = 10
x = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya
ialah
Ø Metode Determinan
1. Tentukan
himpunan penyelesaian dari:
2x
+ y = 7
x
+ 2y = 8
Jawab:
=
Dp
D =
Du
D = Du – Dp
= 2.2 – 1.1
= 3
Dx =
x =
= 7.2 – 8.1 =
=
6 = 2
Dy
=
y =
= 2.8 – 7.1 =
= 9 = 3
4. Pertidaksamaan
Linier DuaVariabel (PtLDV)
ó Pertidaksamaan
Linier Dua Variabel ialah suatu pertidaksamaan bersyarat dalam variabel x dan y yang memiliki bentuk E
< F , E > F , E ≤ F , atau E ≥ F, dengan E dan F adalah bentuk
aljabar dalam x dan y.
Daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier dua variabel ditentukan dari
irisan tiap daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier dua variabel
dari sistem pertidaksamaan linier dua variabel tersebut.
ó Cara Penyelesaian PtLDV
Untuk mencari solusi PtLDV,
maka dapat digunakan metode:
a.
Metode Grafik
Strategi menggambar Grafik atau Daerah Himpunan
Penyelesaian PtLDV
Untuk menggambar grafik atau daerah
himpunan penyelesaian PtLDV ax + by +c ≤
0 atau ax + by +c ≥ 0 dapat
ditempuh prosedur sebagai berikut:
·
Nyatakan PtLDV
dalam bentuk
atau
dalam bentuk
·
Grafik atau daerah himpunan penyelesaian
PtLDV
adalah daerah di bawah
garis
atau
, sedangkan grafik atau daerah himpunan penyelesaian PtLDV
adalah daerah di atas
garis
atau
·
Pada sistem koordinat Cartessius,
gambarlah garis
atau
yang menyatakan grafik atau daerah himpunan penyelesaian
PtLDV
dan arsirlah daerah di
atas garis
atau
yang menyatakan grafik
atau daerah himpunan penyelesaian PtLDV
Contoh Soal:
1. Tentukan
daerah himpunan pentelesaian pertidaksamaan
Penyelesaian:
1. Langkah
1:
Ubah
ke dalam bentuk
persamaan
untuk bisa menggambar
garis, dengan cara mencari titik potong
|
x – 2y = -2
|
||
|
x
|
0
|
-2
|
|
y
|
1
|
0
|
|
(x,y)
|
(0,1)
|
(-2,0)
|
Langkah 2:
Y
2-
1-
-2 -1 0 1
Untuk mendapatkan daerah himpunan penyelesaian
PtLDV, maka dapat menggunakan metode titik uji. Yaitu dengan memasukkan nilai
titik uji ke dalam pertidaksamaan dan menentukan apakah hasilnya merupakan
pernyataan yang benar atau pernyataan yang salah.
Misal titik uji (0,0), maka:
0 – 2(0) ≤ -2
0 ≤ -2; merupakan pernyataan yang
bernilai benar.
Pada gambar grafik di atas, daerah
yang tidak diarsir merupakan himpunan penyelesaian pertidaksamaan
2. Gambarlah daerah himpunan penyelesaian dari SPtLDV
Penyeesaian:
1. Langkah
1:
1) Ubah
pertidaksamaan
menjadi bentuk persamaan
2) Ubah
pertidaksamaan
menjadi bentuk
persamaan
|
y = -x + 4
|
||
|
x
|
0
|
4
|
|
y
|
4
|
0
|
|
(x,y)
|
(0,4)
|
(4,0)
|
|
y = -2x + 6
|
||
|
x
|
0
|
3
|
|
y
|
6
|
0
|
|
(x,y)
|
(0,6)
|
(3,0)
|
Langkah 2: Gambar grafik
Pada
grafik di bawah ini, daerah yang tidak diarsir merupakan penyelesaian dari
keempat pertidaksamaan
,
, x ≥ 0, dan y ≥ 0
|
x
≤ 0
|
Y
6-
5-
4-
3-
2- x + y = 4
1-
|
2x
+ y = 6
|
-1
-2
y
≤ 0
Masukkan
titik uji (0,0) ke dalam pertidaksamaan
0
≤ -0 + 4
0
≤ 4, merupakan pernyataan yang bernilai benar.
Maka
daerah di bawah garis x + y = 4 merupakan himpunan penyelesaian
pertidaksamaan
.
Masukkan
titik uji (0,0) ke dalam pertidaksamaan
0
≤ -0 + 6
0
≤ 6, merupakan pernyataan yang bernilai benar.
Maka
daerah di bawah garis 2x + y = 6 merupakan himpunan penyelesaian
pertidaksamaan
.
5. Persamaan
Linier Tiga Variabel (PLTV)
Persamaan Linier Tiga Variabel ialah suatu persamaan yang terdiri atas tiga variabel yaitu x, y,
dan z dengan pangkat tertinggi adalah satu. Dengan bentuk umum ax + by + cz = d.
Sistem persamaan linier tiga variabel adalah sistem
persamaan linier yang terdiri dari tiga persamaan linier tiga variabel. Dengan bentuk
umum:
Disebut
sistem persamaan linier dengan tiga variabel, dengan a11, a12, a13, a21, a22,
a23, a31, a32,dan a33 adalah koefisien-koefisien variabel x, y, dan z yang merupakan bilangan real dan tidak sama dengan 0. Sedangkan p, q, dan r € R adalah konstanta.
Menyelesaikan
sistem persamaan linier dengan tiga variabel adalah menentukan pasangan terurut
(x0, y0, z0) yang merupakan penyelesaian
simultan atau serempak dari sistem persamaan itu, sehingga himpunan
penyelesaiannya adalah {(x0, y0, z0)}.
Himpunan
penyelesaian dari sistem persamaan linier dengan tiga variabel dapat ditentukan
dengan metode substitusi dan metode kombinasi eliminasi substitusi.
Ø Metode Substitusi
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier tiga
variabel dengan metode substitusi melalui langkah-langkah sebagai berikut.
Langkah
1 : Pilih salah satu persamaan yang
sederhana, kemudian
nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y.
Langkah
2 : Substitusikan x, y, atau z yang didapat pada langkah satu
ke persamaan-persamaan
yang lainnya, sehingga didapat sistem persamaan linier dengan dua variabel.
Langkah
3 : Selesaikan sistem persamaan
linier dengan dua variabel
yang
didapat pada langkah 2 dengan metode substitusi.
Langkah
4 : Penyelesaian sistem persamaan
linier dengan dua variabel
pada langkah 3
disubstitusikan ke salah satu persamaan linier dengan tiga variabel, sehingga didapat
penyelesaian simultan dari sistem persamaan itu.
Langakah
5 : Tulis himpunan penyelesaiannya.
Contoh:
1. Tentukan
himpunan penyelesaian SPLTV berikut:
Jawab:
Dari persamaan x- y – z
= 6, bisa didapatkan,
z = -x + y + 6
Kemudian,
subsitusikan z ke dalam persamaan x + 2y – z = -3 dan 2x + y + z = 6, yaitu
x + 2y – z = -3 2x + y + z = 6
x + 2y – (-x + y + 6) =
-3 2x + y + (-x + y + 6) = 6
x + 2y + x – y - 6 = -3 2x + y – x + y + 6 = 6
2x
+ y = 3 (1) x
+ 2y = 0 (2)
Persamaan (1) dan (2) membentuk SPLDV tak homogen,
Dari persamaan x+2y
= 0
x = -2y.
Kemudian, substitusi
x=-2y ke persamaan 2x+y = 3, diperoleh :
2x + y = 3
2(-2y) + y = 3
-4y + y = 3
-3y = 3
y = -1
Substitusi y=-1
ke persamaan x=-2y, diperoleh:
x = -2y
x = -2(-1)
x = 2
Setelah itu, nilai x = 2 dan y = -1
disubstitusikan ke persamaan z = 6 - x + y,
diperoleh :
z= 6 – x + y
z = 6 – 2 + (-1)
= 3
Jadi, himpunan
penyelesaian SPLTV itu adalah {(2, -1, 3)}.
Ø
Metode Eliminasi
Untuk menyelesaikan
SPLTV dengan menggunakan metode eliminasi, maka digunakan langkah-langkah
sebagai berikut:
1. Eliminasi salah satu variabel x atau y atau z dari dua
persamaan sehingga diperoleh SPLTV
2. Selesaikan SPLTV yang didapat dari langkah 1
3. Substitusikan nilai-nilai variabel yang diperoleh pada
langkah 2 ke dalam salah satu persamaan semula untuk mendapat nilai variabel
lainnya
Contoh:
1.
Tentukan himpunan penyelesaian dari
SPLTV
Jawaban:
Dari persamaan pertama dan kedua :
x – y + z = 6 (1)
x
+ 2y – z = -3 (2)
2x
+ y = 3 (4)
Dari persamaan kedua dan ketiga:
x + 2y – z = -3 (2)
2x
+ y + z = 6 (3)
3x + 3y = 3
x + y = 1 (5)
Persamaan (4) dan (5) membentuk SPLDV x
dan y:
Selanjutnya mengeliminasi variabel y:
2x
+ y = 3 |×1| ó 2x + y = 3
x + y = 1 |×2| ó 2x + 2y = 2 -
-y = 1
y= -1
Substitusikan nilai x = 2 dan y = -1 ke dalam
salah satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai z, misalnya persamaan x – y +
z = 6; diperoleh:
2x + y + z = 6
2
– (-1) + z = 6
z = 3
Jadi,
himpunan penyelesaian SPLTV di atas ialah {(2, -1, 3)}
Ø Metode Kombinasi Eliminasi-Substitusi
Untuk menentukan himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linier dengan tiga variabel
dapat digunakan metode kombinasi eliminasi-substitusi dengan langkah-langkah
sebagai berikut.
Langkah 1 : Eliminasi salah satu
variabel x, y, atau z, sehingga didapat sistem persamaan
linier dengan dua variabel.
Langkah 2 : Selesaikan sistem
persamaan linier dua variabel pada Langkah 1 menggunakan metode kombinasi
eliminasi-substitusi.
Langkah 3 : Substitusikan
penyelesaian simultan yang didapat ke salah satu persamaan linier dengan tiga
variabel, sehingga didapat penyelesaian simultan sistem persamaan itu.
Langkah 4 : Tulislah himpunan
penyelesaiannya.
Contoh
:
1.
Selesaikan persamaan berikut,
Jawab:
Eliminasi salah satu variabel, misalnya z:
x + y + z = 1 (1)
2x – y + z = 1 (2)
-x + 2y = 0 (4)
Kemudian dari persamaan kedua dan ketiga:
2x – y + z = 1 |×3| ó 6x – 3y + 3z = 3
x
+ 2y + 3z = -2 |×1| ó x + 2y + 3z = -2 _
5x – 5y = 5
x - y = 1 (5)
Dengan menggabungkan persamaan (4) dan
persamaan (5), diperoleh SPLDV:
Substitusikan
y = 1 ke dalam persamaan (5),
sehingga:
x – y = 1
x – (1) = 1
x = 2
hitung nilai variabel z
dengan mensubstitusikan x = 2 dan y = 1 ke dalam persamaan (1), sehingga
diperoleh:
x + y + z = 1
2 + 1 + z = 1
z = -2
Jadi, penyelesaiannya
adalah {(2, 1, -2)
(Sumber: Buku MATEMATIKA SMA kelas X jilid 1, Drs. Sartono
Wirodikromo-PT Gelora Aksara Pratama)
D.
Sistem Persamaan Kuadrat
Bentuk persamaan kuadrat umum adalah: y
= ax2 + bx + c. Dimana a, b, c adalah konstanta dan a tidak
sama dengan nol. Persamaan kuadrat adalah suatu
persamaan di mana pangkat tertinggi dari kuantitas yang tidak di ketahui adalah
2. Sebagai contoh , x2 - 3x + 1=0 adalah sebuah persamaan kuadrat.
Terdapat 3
metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu:
1. Dengan
faktorisasi (jika memungkinkan)
2. Dengan
“melengkapi kuadrat”
3. Dengan
“rumus kuadrat”, atau
1.
Penyelesaian
persamaan kuadrat dengan faktorisasi
Perkalian
(2x+1)(x-3) menghasilkan 2x2 - 6x + x-3 atau 2x2 - 5x -
3. Proses dengan arah sebaliknya dari 2x2 - 5x - 3 ke (2x+1) (x-3)
disebut faktorisasi. Jika suatu pernyataan kuadrat dapat difaktorisasikan, maka
ini menjadi metode yang paling sederhana untuk menyelesaikan suatu persamaan
kuadrat. Sebagai contoh, jika 2x2 - 5x -3 = 0, maka dengan
faktorisasi : (2x+1) (x-3) = 0
Sehingga
penyelesaiannya (2x+1) = 0 maka, x = -
atau (x-3) = 0 maka,
x = 3. Teknik faktorisasi ini seringkali
bersifat “coba-coba” atau “trial and error”.
CONTOH SOAL:
|
1. Selesaikanlah
persamaan-persamaan berikut dengan
cara faktorisasi
(a) x2 + 2x - 8 = 0 dan (b)
3x2 – 11x - 4 = 0
|
Jawab:
(a)
x2 + 2x - 8 = 0.
(x
+ 4) (x – 2) = 0
x
+ 4 = 0 x – 2 = 0
x
= -4 x = 2
Sehingga
akar-akar dari x2 + 2x – 8 = 0 adalah x = -4 dan 2.
(b)
3x2 – 11x – 4 = 0
(3x
+ 1) (x – 4) = 0
3x
+ 1 = 0 x
– 4 = 0
x = -
x = 4
|
2. Selesaikanlah persamaan kuadrat
berikut ini dengan cara faktorisasi :
4x2
– 25 = 0
|
Jawab:
4x2
– 25 = 0
(2x
+ 5) (2x – 5) = 0.
2x
+ 5 = 0 2x
– 5 = 0
x =
-
x =
|
3.
Selesaikanlah persamaan kuadrat berikut ini dengan cara faktorisasi :
(a)
4x2 + 8x + 3 = 0 (b) 15x2 + 2x – 8 = 0
|
Jawab:
(a)
4x2
+ 8x + 3 = 0
(2x + 3) (2x + 1) = 0
2x + 3 = 0 2x + 1 = 0
2x = -3 2x
= -1
x =
x =
(b)
15x2
+ 2x – 8 = 0
(5x + 4) (3x – 2) = 0
5x + 4 = 0 3x – 2 = 0
5x = -4 3x = 2
X
=
, x =
ü Menyusun Persamaan Kuadrat
|
1.
Akar-akar dari suatu persamaan kuadrat adalah
dan -2. Tentukanlah persamaan tersebut.
|
Jawab:
Ø Cara 1
Bila diketahui akarnya adalah x1
dan x2 maka persamaan kuadratnya adalah (x – x1) (x – x2)
= 0
Sehingga jika x1 =
dan x2 = -2, maka
(x – x1) (x – x2)
= 0
(x – ( -2)) = 0
(x
+ 2) = 0
x2
x2
x2
]
3
3x2 + 5x – 2 = 0
Ø Cara 2
Bila diketahui akar – akarnya mempunyai
hubungan dengan persamaan sebelumnya, persamaan kuadrat adalah:
x2
– (x1 + x2)x + x1.x2= 0
Sehingga jika x1 =
dan x2 = -2, maka
·
x1 + x2 =
+ (-2)
=
=
·
x1.x2 =
)(-2)
=
Kemudian, x2 – (x1
+ x2)x + x1.x2= 0
x2
– (
x +
=
0
(x2 – (
x +
=
0)
x 3
3x2
+ 5x – 2 = 0
|
2.
Tentukanlah persamaan-persamaan dalam x yang akar-akarnya adalah
(a)
5 dan -5 (b) (1,2)
dan (-0,4)
|
Jawab:
Ø Cara 1 (a)
Bila diketahui akarnya adalah x1
dan x2 maka persamaan kuadratnya adalah (x – x1) (x – x2)
= 0
Sehingga jika x1 = 5 dan x2
= -5, maka
(x – x1) (x – x2)
= 0
(x – 5) (x + 5) = 0
x2 – 5x + 5x – 25 = 0
x2
– 25 = 0
Ø Cara 2 (a)
Bila diketahui akar – akarnya mempunyai
hubungan dengan persamaan sebelumnya, persamaan kuadrat adalah:
x2
– (x1 + x2)x + x1.x2= 0
Sehingga jika x1 = 5 dan x2
= -5, maka
·
x1 + x2 = 5 + (-5)
=
0
·
x1.x2 = (5)(-5)
= -25
Kemudian, x2 – (x1
+ x2)x + x1.x2= 0
x2
– (0)x + (-25) = 0
x2
– 0x - 25 = 0
x2 – 25 = 0
Ø Cara 1 (b)
Bila diketahui akarnya adalah x1
dan x2 maka persamaan kuadratnya adalah (x – x1) (x – x2)
= 0
Sehingga jika x1 = 1,2 dan x2
= -0,4, maka
(x – x1) (x – x2)
= 0
(x – 1,2) (x + 0,4) = 0
x2
– 0,8x – 0,48 = 0
Ø Cara 2 (b)
Bila diketahui akar – akarnya mempunyai
hubungan dengan persamaan sebelumnya, persamaan kuadrat adalah:
x2
– (x1 + x2)x + x1.x2= 0
Sehingga jika x1 = 1,2 dan x2
= -0,4, maka
·
x1 + x2 = 1,2 + (-0,4)
=
0,8
·
x1.x2 = (1,2)(-0,4)
= -0,48
Kemudian, x2 – (x1
+ x2)x + x1.x2= 0
x2
– (0,8)x + (-0,48) = 0
x2 – 0,8x – 0,48 =
0
2.
Penyelesaian
Persamaan Kuadrat sengan Melengkapi Kuadrat
Sebuah pernyataan
seperti x2 atau (x + 2)2 atau (x – 3)2 disebut
sebagai suatu kuadrat sempurna. Karena b = 0
Jika x ≥ 0 dan berlaku
x2 = p, maka x = ±
dengan p ≥ 0. Sehingga,
ó Jika
x2 = 3,
x
=
ó Jika
(x + 2)2 = 5
x + 2 =
x = -2
ó Jika
(x – 3)2 = 8
x – 3 =
x
= 3
Pada hakikatnya, tiap
bentuk kuadrat dapat dimanipulasi secara aljabar menjadi bentuk kuadrat
sempurna. Manipulasi aljabar yang diperlukan dalam proses pengubahan itu adalah
dengan menambah atau mengurangi bagian suku tetapan, misalnya:
§ Bentuk
x2 – 2x + 4, dapat dimanipulasi aljabar sebagai berikut:
x2
– 2x + 4
(x2
– 2x + 1) + (-1) + 4, ditambah dengan (-1)
(x
- 1)2 + 3, bentuk ini dapat memuat bentuk kuadrat sempurna (x - 1)2
§ Bentuk
-x2 – 4x + 9, dapat dimanipulasi aljabar sebagai berikut:
-x2 – 4x + 9
-( x2 + 4x + 4) + 4 + 9,
ditambah (+4)
-(x + 2)2 + 13, bentuk ini
memuat bentuk kuadrat sempurna –(x + 2)2
(x + a)2 = x2 + 2ax + a2
Selain cara tersebut, ada juga cara lainnya yaitu:
ax2 + bx + c = 0
ax2 + bx = -c
+
x =
X2 +
x
+ (
)2 =
+
(
)2 (Melengkapi Kuadrat Sempurna)
(x +
)2 =
+ (
)2
x +
= ±
)2
x =
(Rumus a b c)
(Sumber: Buku Matematika Dasar Edisi
3, John Bird-Penerbit Erlangga)
Contoh
|
1. Selesaikanlah
persamaan 2x2 + 5x = 3 dengan metode “ melengkapi kuadrat
|
sempurna penyelesaian adalah
sebagai berikut :
Jawab:
2x2
+ 5x – 3 = 0
=
0
x2
=
0
x2
+
(
)2 =
+
(
)2
x2
+
(
) 2 =
(
) 2
(x + (
)) 2
=
(
) 2
(x + (
))
=
(x + (
))
=
(x + (
))
=
x =
-
atau,
x =
+
=
x
=
=
x
= 3
2. Selesaikanlah
persamaan berikut:
(a)
(b)
3
Jawab:
a. Diketahui: a = 1, b = 2, c
= -8
x
=
x
=
=
=
x
=
atau
x
=
b. Diketahui: a = 3, b = -11, c = -4
x
=
= + 11
= 11
=
=
atau
Sehingga
atau
=
4 =
3 Tinggi s meter dari
sebuah benda yang dilempar ke atas dalam waktu t
detik
dinyatakan dengan persamaan s = ut -
gt2. Tentukanlah berapa lama
waktu
yang diperlukan benda tersebut setelah dilemparkan untuk mencapai ketinggian 16
m,
a. Ketika bergerak ke atas
b. Ketika bergerak ke bawah
Jika u = 30m/s dan g =
9,81 m/s2.
Jawab:
Jika
tinggi s = 16 m, maka
s = ut -
gt2
16
= 30t – ½ ( 9,8 1 )t2
4,905t2 – 30t + 16 = 0
Dengan
menggunakan rumus kuadrat :
t =
=
=
t =
atau
t =
=
5,53 =
0,59
Sehingga
benda tersebut akan mencapai ketinggian 16 m setelah 0,59 detik ketika bergerak
ke atas dan setelah 5,53 detik bergerak ke bawah.
|
4. Jika luas
permukaan total dari sebuah kerucut pajal adalah 486,2 cm2 dan
panjang sisi miringnya adalah 15,3 cm, tentukanlah diameter alasnya.
|
Jawab:
Luas permukaan total A dari kerucut pejal adalah A =
πrl + πr2, dimana l
adalah panjang sisi miringnya dan r adalah
jari – jari alas silinder.
Jika A = 486,2 dan l = 15,3, maka
A
= πrl + πr2
486,2 = πr (15,3)
+ πr2
πr2
+
15,3πr – 486,2 = 0
+
–
=
0
Dengan menggunakan
rumus kuadrat:
r =
r =
=
r =
atau
r =
=
6,95cm = -22,25 cm
Sehingga jari – jari r = 6,9106 cm ( r = 22,2 cm dapat diabaikan )
Jadi diameter alas kerucut adalah = 2r = 2(6,95)
= 13,9 cm
E.
PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
Pertidaksamaan
kuadrat adalah pertidaksamaan yang memiliki variabel paling tinggi berpangkat
dua. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x adalah
(i) ax²+ bx + c > 0 (iii) ax²+ bx + c < 0
(ii) ax²+ bx + c ≥ 0 (iv) ax²+ bx + c ≤ 0
dimana a, b, c dan x ϵ R dan
a≠0
1.
Interval/Selang
Interval merupakan
himpunan bagian bilangan riil. Sebuah interval dapat dilukiskan pada garis
bilangan yang berbentuk ruas garis (segmen garis) dan terdapat tanda lebih
tebal pada titik yang bersesuaian.
2.
Langkah-langkah
Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat
a.
Ubahlah
pertidaksamaan kuadrat menjadi persamaan kuadrat
b.
Tentukanlah
akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut seperti yang telah dijelaskan pada
materi sistem persamaan kuadrat
c.
Tentukan
akar-akar dari persamaan kuadrat pada garis bilangan
d.
Tentukan mana
yang termasuk daerah positif (+) dan mana yang termasuk daerah negatif (-)
e.
Tuliskan HP
sesuai soal yang diminta
Contoh
1.
Tentukan
himpunan penyelesaian dari x2 – 2x – 24 < 0
Jawab: x2 –
2x – 24 < 0
x2
– 2x – 24 = 0
(x
- 6) (x + 4) = 0
x – 6 = 0 x + 4 = 0
x
= 6 x = -4
Jadi, HP = {x|-4 < x < 6}
2.
Himpunan
penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – x – 12
Jawab: x2
– x – 12
x2 – x – 12
(x + 3) (x - 4) = 0
x + 3 = 0 x – 4 = 0
x = -3 x = 4
Jadi, HP =
{x|-3
x
4}
F. Penyelesaian Persamaan Linear dan
Kuadrat Secara Simultan
Kadang-kadang
persamaan linear dan persamaan kuadrat harus diselesaikan secara simultan. Untuk mendapatkan
penyelesaian yang simultan, nilai-nilai dari y harus sama, sehingga ruas kanan
dari setiap persamaan harus disetarakan.
Contoh:
Selesaikan
persamaan berikut, 5x – 4 – 2x2 = 6x – 7
Jawab: 5x
– 4 – 2x2 = 6x – 7
5x
– 4 – 2x2 – 6x + 7 = 0
–x
+ 3 – 2x2 = 0
2x2
+ x – 3 = 0
(2x
+ 3) (x – 1) = 0
x
=
atau x = 1
(Sumber: Buku Matematika Dasar Edisi 3, John Bird-Penerbit
Erlangga 2004)
DAFTAR PUSTAKA
Bird, John. 2004. Buku
Matematika Dasar Edisi 3. Jakarta:
Erlangga.
Wirodikromo, Sartono. 2006. Matematika jilid 1. Jakarta: Erlangga.
Suryati, Enung;
Untung Widodo. 2009. Mandiri Matematika
Jilid 1. Jakarta: Erlangga.
0 komentar:
Posting Komentar